出題練習　補數說明

盲生珠算教學法筆記

教學理念與上課方式

用珠算代替直式做基本加減，重點是理解「為什麼這樣撥」，不靠背口訣。

• 對象：小一至小三視障學生。
• 流程：電腦搭配點顯器出題，學生可以重複摸題；在算盤上撥珠；再用電腦作答。
• 和其他做法的不同：不把算式列在算盤上，算盤只用來計算。
• 小年級學生的主要困難：撥珠時要用到 5 或 10 的補數。

補數用語：小補數（朋友）是湊成 5 的數（1↔4、2↔3），大補數（朋友）是湊成 10 的數（1↔9、2↔8、3↔7、4↔6、5↔5）。

教學決定

• 撥珠順序：加減法從個位開始，跟直式一樣。乘法也從個位的乘積開始，兩位數乘一位數已試過，可行。除法從高位開始，和一般長除法一致。
• 不教聽算。到了國中有代數和指數，學生要習慣用點字讀題、自己找出同類項來運算，而不是一直靠聽來計算。所以從小就用點顯器摸題，培養自己讀題的習慣。
• 級別看撥法，位數另外看。1～4 級只看撥珠時用到哪一種補數；數字有幾位是「題型」，每一級都可以用一位數、兩位數再練一次。

文獻探討

文獻支持「視障生用算盤計算」與「重理解、少背算則」，但沒有研究直接比較撥珠順序、補數教法或點顯器搭配算盤的效果；本筆記的做法多屬實務創新。

研究缺口與本筆記可貢獻之處：

• 沒有研究比較從個位或從高位撥珠的學習效果。
• 沒有研究把補數題型依難度分級用於視障生。
• 沒有研究探討「點顯器出題＋算盤計算＋電腦作答」的流程。

完整文獻清單見文末的文獻清單。

四種基本規則

四種規則都是同一個想法：不夠就先動整數（5 或 10），動太多再用補數修正。

對照傳統口訣（看其他教材時可以對應，不必背）：3 + 4 是「四下五去一」，8 + 7 是「七去三進一」，8 − 4 是「四上一去五」，22 − 8 是「八退一還二」。

難點：同時動到十和五的複合題

複合題是先用一次十的補數，而「加回／扣掉補數」那一步又剛好要用五的補數。以個位來看，加法和減法各只有 10 種組合。

減法（例：21 − 6）

1. 個位 1 不夠減 6 → 十位扣 1。
2. 減太多，個位要加回 6 的大補數 4。
3. 「1 + 4」：下珠不夠加 → 加上珠 5 → 扣掉 4 的小補數 1。結果 15。

加法（例：7 + 6）

1. 個位不夠加 6 → 十位加 1。
2. 加太多，個位要扣掉 6 的大補數 4。
3. 「7 − 4」：下珠不夠減 → 退上珠 5 → 加回 4 的小補數 1。結果 13。

對照：22 − 8 和 8 + 7 都不在表中，所以學生做得來；口訣裡這兩類是「六退一還五去一」、「六上一去五進一」。

依難度分級

1～4 級

題型的範圍：

• 20 以內：題目和答案都不超過 20。減法借位時被減數是 10 幾，例如 12 − 8。
• 兩位數 ± 一位數：答案超過 20 的兩位數加減一位數，例如 23 + 4、15 + 7、41 − 7。
• 兩位數 ± 兩位數：進位沒有撞上十位要加的數，例如 32 + 15；大補數出現在十位時，例如 32 + 91，撥法和 3 + 9 一樣。減法十位要借位時被減數是 1xx，例如 115 − 71，答案仍是兩位數。

舊版的 5d-1（多位數，沒有進退位）和 5d-2b（只有十位進退位）都只是 1～4 級的撥法用在兩位數，這次歸回 1～4 級，用題型來選。

第 5 級：只有多位數才會遇到

• 5a 合併：舊版的 5a（進位）和 5b（借位）是同一個概念，現在合成一級，加法、減法各一欄。
• 5d 的難處：十位會被動兩次，先因為進位加 1，再加上十位自己的數；第二次撥的時候十位已經變了，要重新看清楚。
• 第 5d 級的分類假設從個位開始撥（和直式一樣，進位馬上加到十位）。傳統珠算從高位開始撥，同一題的難度可能不同：例如 34 + 28 若先撥十位，小補數出現在 3 + 2，而不是 4 + 2。

第 6 級：乘法

從個位開始：先算個位的乘積撥上去，再把十位的乘積加在十位、百位。分級看「加十位乘積」那一步用到什麼，和 1～4 級的規則一樣。

學乘法前，學生要先熟九九乘法，也要熟 1～4 級的兩位數加法。

全部個位組合

一位數的加法、減法各 81 種（不含答案是 0 的題目）。可直接拿來出題；減法 3～4 級前面有十位 1，實際出題時十位可以換成其他數，但避開 5 和 0；加法若在前面加上十位，則避開 4 和 9，以免變成第 5 級。

對照日本盲生點字教科書

日本文部科學省的〈珠算編〉是盲校點字教科書的編輯資料，整份寫給盲生用。它的順序和本筆記的分級大致一致：

和本筆記不同的地方：

• 撥珠方向：第 2 卷起規定由左往右撥。本筆記為了配合直式，由右往左。
• 進位的順序：日本是「先拿掉補數，再進位」，例如 3 + 8 是「拿掉 2，十位進 1」；本筆記是「先動 10，太多了再用補數修正」。結果一樣，撥珠先後相反。
• 口訣：日本也有「たす 8 は、2 とって 10 入れる」這類說法，但放在概念說明之後，當作加快速度用，和本筆記「先理解，口訣只當參考」相近。
• 乘法的撥法：日本把被乘數撥在算盤上，一邊算一邊撥掉；本筆記不把算式放上算盤，被乘數留在點顯器上。

來源：文部科學省〈珠算編〉、日本珠算連盟珠算能力檢定試驗。

練習頁怎麼設定

• 級數表格：每一列是一個級別，欄是加法、減法（第 6 級是乘法）。同一級加法、減法都勾就是加減混合。第 5、6 級預設收合。
• 題型選單：1～4 級每一列可以選「20 以內」「兩位數 ± 一位數」「兩位數 ± 兩位數」「20 以內＋兩位數 ± 一位數」「全部」。格子裡的題數和例題會跟著變。
• 建議順序：每一級先用「20 以內」練熟，再換成「兩位數 ± 一位數」，最後「兩位數 ± 兩位數」，然後才往下一級。
• 先看題目、匯出：可以先預覽，匯出文字檔（附答案，給老師）或 .brl 點字檔（Nemeth，不附答案，題號用上位數字，例如 ⠼⠁⠲）。
• 結果：依「級別＋運算＋題型」分開統計，看得出是補數不熟還是位值弄錯；可下載 CSV。

可試做法

核心想法：複合題不是新規則，而是「十的規則」裡面包了一題學生已經會的「五的題」。學生錯亂，多半是兩個步驟同時在腦中進行。

1. 拆成兩題，中間停一下。固定順序：先處理十位，再把個位「加回 4」當成一題新的「1 + 4」。可以請學生念出來：「個位現在是 1，要加 4」。
2. 先練獨立的五的加減。1+4、2+3、3+4、4+4；6−4、7−3…等五的題要先熟練，複合題的第二步才不會卡住。
3. 題目分級。用上一節的表，先出「只用十」的題（如 21−7、22−8），穩定後再放入複合題；複合題從只有一種的 24−9、5+9 開始。
4. 每一級都用兩位數再練一次。撥法沒有變，練的是位值：從點字讀出兩位數、找到十位和個位、一位數撥在個位。日本盲生教科書也是每學一種補數，就馬上接兩位數練習。
5. 錢幣類比（不用算盤）。臺灣硬幣 1、5、10 元剛好對應下珠、上珠、十位，且摸得出大小。「21 元付 6 元」：拿 10 元付、找回 4 元，而手上的 1 元加 4 個 1 元可以換成 5 元。讓學生用「換錢」理解上珠的意義。
6. 電腦分步作答。複合題先問中間狀態（十位扣 1 後、個位要加幾？），再問答案。答錯時可以知道是哪一步錯。
7. 觸覺提示。借位後左手手指留在十位，右手只處理個位，讓學生清楚「十位已經做完了」。

上述是待試建議，尚未有實證或試教紀錄。

乘法與除法（待試建議）

乘除法都可以用位值來理解，不必背珠算口訣；唯一要背的是九九乘法表。

乘法

• 兩位數 × 一位數：練習頁的第 6 級（見分級）。先撥個位的乘積，再加十位的乘積。
• 小乘積一律當兩位數。3×2 記成「06」，個位和十位的位置就固定，不會放錯檔。
• 放哪一檔用位值判斷。十位 × 十位是「幾個百」，所以 40×30 = 1200 從百位開始放。規則：第 i 位 × 第 j 位（個位是第 0 位），小乘積的個位放在第 i+j 位。
• 每放一個小乘積就是一題加法，可以套用加法的 1～5 級。
• 兩位數乘數的例子：47×36，依序加入 7×6=42（個位起）、4×6=24（十位起）、7×3=21（十位起）、4×3=12（百位起），得 1692。
• 預期的新問題：兩位數乘數時，學生要記得「現在是哪兩個數字相乘」。題目留在點顯器上，可以用手指指著目前的數字。

除法：用長除法的想法（商除法）

傳統中式「歸除法」要背九歸口訣，不符合理解導向；日本現代的「商除法」和直式長除法是同一個想法：估商、乘、扣。

採用做法：算盤只放被除數，商用點顯器記錄。

1. 算盤只放被除數，貼右。個位在最右邊一檔，不必分區、不必數檔。除數留在點顯器上。
2. 從高位問「有幾個」，商打在點顯器上。商由左往右寫，和紙筆長除法一樣。
3. 「扣」就是減法，在算盤上套用減法的 1～5 級。
4. 估太大就修正。先試乘再扣；例如 156÷26 先估 7，7×26=182 太大 → 改 6。說法和補數一致：「太多了，退回一個」。
5. 餘數：除完後算盤上剩下的就是餘數，在點顯器打「餘 r」。

例：96÷4

1. 點顯器標記在 9 → 9 裡有 2 個 4 → 打「2」→ 算盤十位扣 8，剩 16。
2. 標記移到 6 → 16 裡有 4 個 4 → 打「4」→ 算盤扣 16，剩 0。
3. 點顯器上是「24」。

注意一：每往右一位就寫一位商，0 也要寫。漏寫會錯一位（412÷4 變成 13）。核對方式：商的位數 = 被除數從開始除的那一位到個位的位數。點顯器上打出的 0 摸得到，所以 90÷3=30、400÷4=100 不會像算盤空檔那樣讀錯。

注意二：打字時手離開算盤，可能忘記做到哪一位。程式在被除數目前這一位加上第 7、8 點（底線），每打一位商就自動往右移。用一般鍵盤數字鍵的學生，也可以一手打字、一手留在算盤上當記號；點字鍵盤要兩手，只能靠點顯器標記。

備用做法（商放在算盤上時）：商的「個位」固定在有定位點的檔，第一個商用位值判斷放哪一檔（如 400÷4 的 1 放在商的百位）。不要讓商貼左，否則 90÷3 的「3 空」會摸成 3。

建議順序：一位數除數且整除（如 96÷4）→ 一位數除數有餘數 → 商中間有 0（如 412÷4）→ 兩位數除數。

與日本商除法教材核對

上述做法和日本現行的商除法大致相同，只有「商放哪裡」不同。

商用點顯器記錄是本筆記的做法，日本教材中沒有看到。它把「商放哪一檔」的問題換成「每一位都要寫一個商」，和紙筆長除法的規則一致。筑波的視障用そろばん手引き目前只公開第 1 冊（加減法），沒有找到除法冊。

來源：そろばん割り算のやり方｜位取り・片落とし・定位法、ピコそろばん教室：わり算編、Yahoo!知恵袋（となり／とんで）、筑波《指導の手引き1》。

文獻清單

珠算與視障的研究不多，而且以教學實務、教師問卷和小樣本研究為主。以視障者為對象的珠心算（不用實體算盤的心算）研究，目前一篇都沒找到。

• 美國與加拿大：2013 年 JVIB 有兩篇 196 位教師的問卷調查，是目前最常被引用的實證文獻。
• 巴西：soroban 是教育部指定的視障計算教具，葡文文獻最多。
• 日本：盲學校從明治時期就教珠算，資料以教材和指導手冊為主。
• 臺灣：只找到 1970–90 年代臺南大學視障叢書的兩筆書目。
• 共同問題：各國都缺少會教算盤的師資。

英文文獻

實證研究以問卷和實作測驗為主，介入研究只有奈及利亞一篇。

背景文獻：早期視覺剝奪干擾數字心理表徵（2022）、視障幼兒計數技能（JBIR）。

巴西葡文文獻（soroban）

巴西教育部 2006 年部令把 soroban 列為視障學生計算「不可或缺」的教具；盲用版本由 Joaquim Lima de Moraes 改良。

日本（盲學校珠算）

日本的資料以教材和制度為主，學術論文少。

• 文部科學省〈珠算編〉：盲校點字教科書的編輯資料，從數的撥法、加減法、三位數、小數到乘除法，是本筆記分級的主要對照（見對照一節）。
• 筑波大學附屬視覺特別支援學校《視覚障害者用そろばん 指導の手引き1》：參考文部科學省點字教科書珠算編。記載武田耕一郎的弱視用算盤（1963 年量產）與 1960 年發表的「六指法」。
• 視覚障害と基礎数学教育（日本數學教育學會誌 47(3-4)）。
• 廣島大學氏間研究室「視覚障害者の授業のヒント」。
• 制度：日本商工會議所與全國盲學校長會每年合辦視障者珠算檢定（トモエ算盤）；盲學校自明治時期即以算盤為教具（日本珠算連盟）；日本珠算連盟珠算能力檢定各級出題範圍。

臺灣與中國

臺灣只找到兩筆書目，都收在國立臺南大學視障教育與重建中心「視障叢書」，網路上沒有摘要或全文：

• 陳三和《盲生珠算數學》，民國 64 年初版、83 年再版。
• 毛連塏〈在盲生師資訓練中心珠算技能的效能與類化〉，民國 85 年 6 月。

中國大陸在網路上找不到盲人珠算或珠心算的專門研究。

珠心算認知研究（明眼人，理論背景）

這些研究顯示珠心算依賴視覺空間意象，可以拿來對照視障者是否改用觸覺或動作意象。

• Frank & Barner (2011), Representing exact number visually using mental abacus，JEP: General。
• Abacus in the Brain: A Longitudinal fMRI Study of a Skilled Abacus User with a Right Hemispheric Lesion。
• 浙江大學陳飛燕團隊「珠心算對認知功能的影響及其神經機制」專案報告（中國珠算心算協會）。

研究缺口與後續檢索

最明確的空白是視障者的珠心算：沒有研究問過先天盲者能否發展出「心算算盤」，以及它靠什麼意象。

1. 視障者珠心算的表徵（觸覺／動作意象 vs. 視覺意象）尚無研究。
2. 介入或實驗研究極少，目前只有奈及利亞一篇小樣本研究。
3. 各國都報告會教算盤的師資不足。
4. 點字數學碼從 Nemeth 轉向 UEB，算盤與點字記錄如何銜接也很少人研究。

尚未查的資料庫（需自行登入）：

• 華藝、臺灣博碩士論文系統：「盲用算盤」「視覺障礙 珠算」「點字 算盤」
• CiNii、國立國會圖書館：「視覚障害 珠算」
• 知網：「盲人 珠心算」
• 找 Kapperman, Heinze & Sticken 的原文

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